Brouchier: Haut parleur, Hifi, Enceinte, etc.

Table des matières

Chapitre 1
Généralité;s

1.1 Notion de système asservi .-

La nécessité de commander à distance et en dehors de tout contrôle humain les variations (ou la constance) d’une grandeur physique a conduit les techniciens à imaginer d’innombrables dispositifs. On peut classer ces systèmes en trois grands groupes.

1.1.1 Les télécommandes.

Elles permettent de produire à distance une variation d’une grandeur quelconque qui peut être mécanique, électrique, thermique etc ... On peut citer comme exemple tous les leviers, les transmissions par câble rigides ou souples et des systèmes plus élaborés faisant intervenir des parties électromécaniques ou électroniques, tels que les commandes de modèles réduits par radio.
Tous ces dispositifs se caractérisent par une chaîne d’action directe qui peut fournir, si besoin est, de l’énergie et donc amplifier l’action de départ.Mais ils ne permettent pas de savoir si la grandeur commandée a bien pris la valeur correcte.
Prenons un exemple simple, le volant d’une voiture permet de modifier le braquage des roues : il y a une relation entre l’angle dont on tourne de volant et l’angle dont tournent les roues. Il semblerait donc qu’un aveugle puisse conduire une voiture à condition de connaître les rayons de courbure de tous les virages et l’angle à donner au volant pour réaliser une rotation correcte. Or nous savons tous qu’il vaut mieux y voir pour conduire un véhicule car la relation entre rotation du volant et rotation des roues peut varier si par exemple il y a du jeu dans les pièces mécaniques ou si une flaque d’huile vient faire déraper la voiture.
Les télécommandes sont donc des systèmes légèrement insuffisants car ils demandent un contrôle extérieur de leurs performances.

1.1.2 Les régulateurs.

Ce sont des appareils destinés à maintenir constante une grandeur.
Ils possèdent déjà une intelligence plus grande que les télécommandes car ils doivent pouvoir apprécier si la grandeur qu’ils commandent a la valeur voulue ou non. Citons comme exemple la régulation de température par thermostat, le régulateur à boules, les alimentations régulées etc...
On peut faire un schéma pour représenter de façon générale le fonctionnement de tels dispositifs.

Le détecteur d’écart compare la grandeur de sortie à l’étalon. Dans le cas d’un thermostat à bilame, l’étalon est une position du bilame fixée par une vis platinée.Si la température est trop forte, le contact ne se fait pas, le chauffage est coupé ; si la température est trop faible, le contact est mis,le chauffage fonctionne. On a donc ici un fonctionnement intermittent, on dit encore par tout ou rien.
Il existe d’autres régulateurs comme les alimentations régulées qui ont un fonctionnement continu.

1.1.3 Les asservissements ou systèmes asservis.

On pourrait presque dire qu’ils réalisent la synthèse des deux types précédents. Ce sont des télécommandes régulées, c’est à dire qu’ils permettent de faire varier à distance une grandeur par référence à une grandeur donnée et qu’à chaque instant un dispositif permet de mesurer l’écart entre ce que l’on a à la sortie et ce que l’on devrait avoir.
Un asservissement est donc caractérisé par l’existence d’une chaîne qui ramène à l’entrée la mesure de ce qu’il y a à la sortie. C’est un système bouclé sur lui-même

En particulier tous les actes volontaires du système nerveux peuvent être assimilés au résultat d’un système asservi.Le cerveau commande à la main de prendre un objet : l’influx nerveux part vers la main, excite les muscles qui sont l’organe amplificateur qui fournit l’énergie musculaire, puis l’œil et les sensations tactiles jugent de l’écart entre l’acte voulu et l’acte réalisé et le cerveau corrigera en conséquence la commande de la main.
Dans la technique actuelle l’utilisation des asservissements se retrouve partout et sous deux formes : la technique analogique (la plus ancienne) et la technique numérique liée au développement de l’informatique. Dans ce petit manuel nous nous intéresserons uniquement au cas analogique d’un asservissement traitant d’une seule grandeur d’entrée et d’une seule grandeur de sortie. Il s’agit donc d’une théorie très élémentaire qui donne une bonne base pour des applications plus compliquées.

 

1.2 Les éléments des asservissements.

Nous nous proposons d’étudier dans ce cours les éléments théoriques nécessaires pour comprendre le fonctionnement des asservissements ( on dit aussi systèmes asservis ou servomécanismes, néologisme tiré de la littérature anglo-saxonne "servomécanisms" qui signifie littéralement "systèmes asservis").
Une méthode commode consiste à aller du plus simple au plus compliqué. Nous commencerons pas diviser le système en éléments ne réagissant pas les uns sur les autres de telle sorte que nous pourrons étudier les propriétés de ces éléments séparément avant de les insérer dans l’ensemble.
Très grossièrement, comment se présentera la structure d’un élément ? c’est un système qui aura un coté "entrée" et un coté "sortie". Dans la théorie élémentaire que nous proposons il y aura une seule grandeur physique à l’entrée et une seule grandeur physique à la sortie. Ces grandeurs seront des fonctions du temps et des caractéristiques du système.

Nous sommes encore ici dans une très grande généralité;s du point de vue mathématique et nous allons faire une hypothèse très restrictive sur le comportement de ces éléments.
Nous nous bornerons à étudier les éléments (et par suite les systèmes) linéaires.
Comment définir de tels éléments ?
Supposons qu’à une grandeur d’entrée E₁ corresponde une grandeur de sortie S₁, de même qu’à E₂ corresponde S₂. Nous dirons que le système est linéaire, si à une entrée E₁ + E₂ correspond la sortie S₁ + S₂.
Du point de vue mathématique cela implique que les équations différentielles qui régissent le système soient des équations différentielles linéaires à coefficients constants. Cela limite fortement la modélisation de ces éléments, mais ces équations sont les seules que l’on sache résoudre relativement facilement. On pourra donc considérer que les asservissements linéaires représentent un modèle élémentaire des systèmes asservis analogiques. Il est bien évident que les systèmes numériques ne rentrent pas dans cette catégorie.
Pour faire plaisir à l’auteur qui a enseigné surtout les asservissements en rotation utilisés dans les radars nous désignerons par θ_e(t) la grandeur d’entrée et par θ_s(t) la grandeur de sortie. Une équation différentielle du type précédent peut donc s’écrire :

La résolution générale d’une telle équation est malgré tout compliquée et le physicien, pour se simplifier la vie, utilise des fonctions "test" plus simples qui conduiront à des équations algébriques au lieu d’équations différentielles.
Les fonctions les plus simples sont les fonctions sinusoïdales du temps établies depuis un temps quasi infini. Elles sont définies par leur amplitude et leur pulsation, et donc deux grandeurs suffisent à les caractériser. Nous verrons au chapitre suivant comment faire.
D’un point de vue pratique tout système a un point de départ dans le temps et il faut étudier le régime transitoire aboutissant au régime permanent. On considère donc des fonctions du temps nulles avant l’instant 0 et variant par la suite. Leur étude est facilitée par la méthode de la transformation de LAPLACE que que nous verrons plus loin.

Chapitre 2
Représentation complexe des fonctions sinusoïdales du temps.

2.1 Introduction

La physique (et la science en général) propose des modèles de représentation du monde qui nous entoure. Ces modèles sont basés sur l’observation et l’expérience.Pour en tirer des conséquences utilisables il faut faire des mesures et vérifier qu’elles sont cohérentes entre elles.

Les mathématiques deviennent un outil incontournable pour cela.Le résultat d’une mesure est un nombre (au sens large) et la relation entre des nombres constitue la théorie des fonctions numériques avec la définition des fonctions dérivées qui sont à la base de toute formule physique.

Les fonctions sinusoïdales du temps sont très utilisées pour décrire la réaction d’un système à une excitation fonction sinusoïdale du temps depuis un temps infini (ou presque). En effet elles sont indéfiniment dérivables.

Le problème est que leur écriture est lourde, et on a cherché à alléger les calculs. Pour cela on a enlevé le costume pour ne conserver que le squelette.

 

2.2 Petit rappel de mathématiques.

Les nombres entiers, puis les rationnels et enfin les irrationnels constituent l’ensemble des réels.Ils permettent de mesurer une grandeur par un seul nombre. Or de nombreuses grandeurs (comme les vecteurs) demandent au moins trois nombres. On a donc étendu la notion de nombre simple à une suite ordonnée de n nombre que l’on appelle "n-uplet".

La plus simple de ces suites constitue le "2-uplet" qu’historiquement on appelle nombre complexe (pas si complexe que ça car ils simplifient bien des calculs comme nous l’allons voir).A condition, bien sûr, de munir cet ensemble de l’opération de multiplication de deux nombres complexes de façon à obtenir le corps des complexes.

Voyons maintenant quelques définitions :

L’application qui à un nombre ( au sens large) pris dans un ensemble de nombres fait correspondre un ( ou plusieurs) nombre d’un autre ensemble de nombres s’appelle une fonction numérique.

L’application qui à une fonction (nous n’écrirons plus "numérique" qui sera sous entendu) prise dans un ensemble de fonctions fait correspondre un (ou plusieurs ) nombre pris dans un ensemble de nombres s’appelle une "fonctionnelle". Quand nous calculons une intégrale définie nous faisons une fonctionnelle.

L’application qui à une fonction prise dans un ensemble de fonctions fait correspondre une autre fonction prise dans un autre (ou le même) ensemble de fonctions s’appelle un "opérateur". Nous connaissons tous la "dérivation" qui fournit la fonction dérivée (quand elle existe) d’une fonction.

Les "lois" de la physique, qui ne sont en fait que le résultat d’une modélisation soumise à modification ultérieure font un grand usage des dérivées sans se soucier de savoir si elles existent. Cela à conduit SOBOLEV et Laurent SCHWARTZ il y a un bon demi siècle à établir la théorie des "distributions" basée sur une fonctionnelle linéaire sur l’ensemble des fonctions φ(x) à propriétés bien définies dont, entre autres, la dérivabilité à l’infini.Les distributions ainsi définies sont alors indéfiniment dérivables, ce qui est bien commode pour l’écriture des équations différentielles.

La représentation complexe des fonctions sinusoïdales du temps est basée sur le même processus à une échelle plus modeste.

Nous définissons une fonctionnelle linéaire sur l’ensemble des fonctions sinusoïdales du temps de pulsation ω fixée. En effet les équations différentielles rencontrées en physique sont le plus souvent linéaires : ce sont les seules,à quelques exceptions près, que l’on sache résoudre. Ces équations ont un second membre que l’on peut considérer comme l’action et un premier membre résultat de cette action. L’action peut prendre diverses formes mathématiques, mais la plus simple est la fonction sinusoïdale du temps car elle est indéfiniment dérivable et facilement réalisable au laboratoire (générateur BF ou HF, pot vibrant....). De plus toute fonction périodique du temps peut se décomposer en une série de FOURIER, somme de fonctions sinusoïdales du temps.

 

2.3 La fonctionnelle représentation complexe des fonctions sinusoïdales du temps.

Commençons par le plus simple. Soit une fonction sinusoïdale du temps : x = X_m.cos(ωt + φ), si on connaît ω et t cette fonction est entièrement définie par la connaissance de son amplitude X_m et de sa phase φ, donc par deux nombres. On peut représenter cette fonction comme la projection sur l’axe origine d’un vecteur tournant de longueur X_m d’origine l’origine des axes et d’angle avec l’axe origine ωt + φ.

Si on considère que ce plan est le plan complexe, ce vecteur a pour affixe :

où j² = -1 suivant la notation des physiciens.La fonction sinusoïdale du temps est alors :
Or pour toutes les fonctions sinusoïdales du temps de pulsation ω le terme en e^jωt est le même. Il est donc inutile de l’écrire et la fonction est entièrement déterminée par le nombre complexe X_m.e^jφ. Par ce procédé nous faisons correspondre à une fonction sinusoïdale du temps de pulsation ω un nombre complexe qui la définit entièrement.

Nous avons ainsi une fonctionnelle permettant de passer d’une fonction sinusoïdale du temps de pulsation ω à un nombre complexe.

Sion multiplie la fonction sinusoïdale par une constante k, le nombre complexe est lui-même multiplié par k.

Si on fait la somme de deux (ou plus) fonctions sinusoïdales du temps de pulsation ω, le nombre complexe représentant cette somme est la somme des nombres complexes représentant chacune d’elles.

On peut donc dire que la fonctionnelle ainsi définie est une fonctionnelle linéaire.

Voyons maintenant le problème de la dérivation par rapport au temps :

On retrouve bien le même résultat. La dérivée par rapport au temps de la fonction x = X_m.cos(ωt + φ) est représentée par la multiplication par jω du nombre complexe la représentant.

Nous appellerons "domaine des amplitudes complexes" l’ensemble des nombres complexes représentant les fonctions sinusoïdales du temps de pulsation ω.

Nous remarquons tout de suite que cette fonctionnelle étant linéaire ne peut pas représenter des produits de fonctions sinusoïdales du temps de même pulsation. Nous verrons plus loin comment contourner ce problème.

On peut résumer tout cela dans le tableau suivant :

 

2.4 Énorme problème de notation

Pour représenter les amplitudes complexes on trouve dans la littérature toute sorte de notation :

Les lettres majuscules semblant malgré tout être les plus nombreuses.

Mais en électrocinétique les lettres V et I sont normalisées par l’AFNOR pour désigner la valeur efficace d’une tension et d’un courant sinusoïdal sur les appareils électriques du commerce. On a donc utilisé le soulignage ou le surlignage pour désigner l’amplitude complexe.

A chaque fois que l’on fait un calcul sur les amplitudes complexes, si on prend l’habitude de dire (ou d’écrire) :" passons dans le domaine des amplitudes complexes" on quitte le domaine des fonctions sinusoïdales du temps pour entrer dans le domaine de leur représentation qui n’a plus rien à voir avec l’AFNOR.

L’auteur propose donc que l’on désigne par une simple lettre majuscule la représentation complexe d’une fonction sinusoïdale du temps.

Par exemple la tension v(t) = V _m.cos(ωt + φ) = V .cos(ωt + φ) pourrait être représentée par la lettre V = V _m.e^jφ = V _eff.e^jφ. En effet les valeurs maximales (V _m) ou efficaces (V _eff) n’apparaissent qu’une seule fois à la fin du calcul. Il n’y a donc aucune ambiguïté possible.

Il faut bien noter que quand on rédige un texte scientifique en LATEX le soulignement demande une commande

, qui répétée plusieurs fois devient à la longue pénible.

Dans un même ordre d’idée on peut remarquer que l’habitude anglo-saxonne de représenter dans les livres par des caractères gras les n’est pas très heureuse. L’auteur n’a jamais vu un collègue réussir à faire un caractère gras au tableau. Le surlignage par une flèche est nettement plus simple. Quand la grandeur sinusoïdale à représenter est elle-même un vecteur en lettres majuscules il n’y a aucun inconvénient à conserver la même notation à condition de bien préciser le contexte : fonction sinusoïdale du temps ou amplitude complexe.

 

2.5 Exemple tout simple

Envisageons le cas d’un circuit passif en électrocinétique dans l’approximation des régimes quasi stationnaires. Certains préfèrent dire :A.R.Q.S.,cela relève du pédantisme le plus pur, mais ça leur fait plaisir !

Pour une résistance (ou un résistor si on préfère) on peut écrire pour une fonction du temps quelconque :

valable donc pour une fonction sinusoïdale du temps.

Pour une bobine d’inductance propre L dont on néglige la résistance on a :

et pour un condensateur le courant i est le courant d’amenée des charges sur les armatures. Ce courant ne traverse pas le condensateur qui contient un isolant entre les armatures :
On voit que nous avons là affaire à deux dérivées par rapport au temps, il est donc commode d’utiliser les amplitudes complexes pour les fonctions sinusoïdales du temps de pulsation ω.

Supposons que les trois éléments soient en série et que le courant soit le même pour tous. Passons dans le domaine des amplitudes complexes. Désignons par I l’amplitude complexe du courant, par V _R l’amplitude complexe de la tension aux bornes de la résistance, par V _L l’amplitude complexe de la tension aux bornes de la bobine et par V _C l’amplitude complexe de la tension aux bornes du condensateur.

Pour la résistance on écrit : V _R  =  R.I , pour la bobine V _L  =  jLωI et pour le condensateur I  =  jCωV _C.

C’est là que l’on voit l’intérêt de cette notation, car pour les éléments en série on ajoute les tensions, donc leurs amplitudes complexes et il n’y a plus de dérivées et V _C  =  I∕jCω. De sorte que la tension totale V aux bornes du circuit s’écrit :

On définit alors le rapport V∕I = Z impédance complexe du circuit. Là encore certains préfèrent écrire Z pour la distinguer de l’impédance réelle que l’on utilisait il y a un demi siècle quand les nombres complexes n’étaient pas au programme des Terminales scientifiques. L’ancienne impédance réelle est en fait le module de l’impédance complexe. Il faut savoir vivre avec son temps et abandonner de vieux outils quand les outils actuels sont plus performants. Qui se sert encore d’une règle à calcul ?

 

2.6 A propos de la notion d’impédance complexe

Comme nous venons de le voir sur un exemple simple, la notion d’impédance complexe n’est définie que dans le domaine des amplitudes complexes, qui est le résultat d’une fonctionnelle linéaire. Cela suppose donc que les constantes utilisées dans le calcul le soient effectivement.

En réalité il n’en est rien. La résistance ohmique d’un conducteur dépend de la température et donc du courant qui le traverse. Le calcul fait en la supposant constante n’est qu’approché. Comme dans tous les modèles il y a une part d’incertitude et il ne faut pas prendre le résultat des calculs pour une vérité intangible.

De même pour une bobine avec noyau magnétique, l’inductance propre, quand on peut encore la définir, dépend du courant qui la traverse. Les diélectriques des condensateurs ne sont pas parfaitement linéaires et dépendent de la tension aux bornes. Ainsi la valeur de C peut varier.

L’approximation des équations différentielles linéaires que l’on sait bien résoudre doit donc être tempérée par le fait que les constantes qui s’y trouvent ne le sont pas tout à fait. Cela ne coûte rien de prévenir nos élèves de cet état de fait et de leur signaler que l’étude des phénomènes non linéaires est en pleine expansion et offre un domaine de recherche très vaste.

Si la notion d’impédance complexe a un grand intérêt historique et pratique en électrocinétique des courants sinusoïdaux, il n’en est pas de même dans d’autres domaines de la physique.

En particulier dans le chapitre sur les ondes sonores dans les fluides, le programme de PC demande de définir l’impédance acoustique alors que cette notion n’a aucune application pratique. En plus la définition qui en est donnée ne fait pas appel aux amplitudes complexes ! Elle est née il y a plus d’un demi siècle à l’époque où les analogies "électrique-mécanique" avaient la faveur des scientifiques quand on avait pas des moyens de calcul aussi puissants qu’aujourd’hui.

Une telle grandeur n’a d’intérêt que si elle est constante sur tout le domaine de mesure. En 1953 l’auteur a pu montrer que la mesure point par point du module de l’impédance acoustique d’un matériau plan placé dans un champ sonore en ondes planes variait assez fortement d’un point à un autre. Ce qui a déçu son Directeur de Recherche qui espérait une valeur constante à introduire comme condition aux limites dans les équations de propagation. Mais les résultats négatifs ont beaucoup de peine à se répandre dans la communauté scientifique.

On pourrait supprimer cette notion du programme ainsi que toutes les analogies "électrique-mécanique" qui ne peuvent que troubler l’esprit de nos élèves. Ce n’est pas parce que des phénomènes différents sont modélisées par les mêmes équations qu’il sont analogues, c’est simplement que l’on n’a pas d’autres équations à proposer.

 

2.7 Produit de deux fonctions sinusoïdales du temps de même pulsation

Nous venons de voir que la fonctionnelle linéaire ne permet pas de traiter ce cas en général. On peut malgré tout s’y rattacher dans le calcul d’un produit moyen sur une période : il s’agit là d’un calcul d’intégrale définie qui donne pour résultat un nombre. Pour illustrer cela envisageons le calcul de la puissance moyenne dans un circuit électrique traversé par un courant i(t) = I_m cosωt avec une tension aux bornes v(t) = V _m cos(ωt + φ). La puissance moyenne sur une période est définie par :

Il reste :
V _eff .I_eff est la puissance apparente.

Revenons aux amplitudes complexes :

Le produit des deux donne V _m.I_m.e^jφ. Pour obtenir la puissance moyenne il suffit de prendre la partie réelle de ce produit divisée par 2 :
Mais nous étions là dans un cas particulier où le courant était l’origine des phases. Si maintenant l’origine des phases était quelconque pour le courant soit φ′ le calcul avec les fonctions sinusoïdales du temps précédent donnerait :
En revenant aux amplitudes complexes si I  =  I_m.e^jφ′ le produit V.I  =  V _m.I_m.e^j(φ+φ′) ne convient pas car il faut un signe - dans la parenthèse. Il suffit de prendre le complexe conjugué de I que nous noterons I^*   =  I_m.e^-jφ′ (on remplace j par -j). Alors :
On peut remarquer que le résultat final contient cos(φ - φ′) qui a la même valeur que cos(φ′- φ) de sorte que :
De façon plus générale la valeur moyenne du produit de deux fonctions sinusoïdales du temps de pulsation ω est égale à la moitié de la partie réelle du produit de l’amplitude complexe de l’une par le complexe conjugué de l’autre.

En particulier on retrouve très facilement la notion de valeur efficace qui est la racine carrée du carré moyen (Root Mean Square en anglais ou RMS) :

 

Chapitre 3
Transformation de LAPLACE

3.1 Définition.

La transformation de LAPLACE fait correspondre à une fonction f du temps t nulle pour t < 0 une fonction F de la variable p (parfois appelée "pulsation complexe p = α + j.ω") par l’intégrale :

Comme il ne s’agit pas ici d’un cours de mathématiques nous accepterons que dans tous les cas où nous en aurons besoin cette intégrale converge. Comme pour la représentation complexe des fonctions sinusoïdales du temps il est commode de convenir que les lettres minuscules représentent des fonctions du temps et que les lettres majuscules représentent les fonctions de la variable p.

On note souvent la transformation de LAPLACE par le symbole : F  =  (f) où, ce qui est plus souple, par : F(p)  ⊏  f(t) et on lit : F(p) image de f(t).
De la même façon on peut écrire : f(t)  ⊐  F(p), f(t) original de F(p).
Nota : on utilise parfois la transformation de CARSON-LAPLACE qui s’écrit :

Son seul avantage est de conserver la nature physique des grandeurs : par exemple une longueur reste une longueur, mais elle a d’autres inconvénients. Dans ce cours nous utiliserons exclusivement la transformation de LAPLACE.

 

3.2 Calcul de quelques transformées.

 

3.2.1 Échelon unité.-

On l’appelle encore fonction de HEAVYSIDE : c’est une fonction nulle pour t < 0 (bien évidemment) et égale à 1 pour t > 0

Calculons sa transformée : ∫ ₀^∞exp(-p.t).dt  =  []₀^∞ F(p)  =  .
On montre de la même façon que la transformée d’une fonction nulle pour t < 0 et égale à k pour t > 0 vaut k∕p.

 

3.2.2 Impulsion unité.-

Il s’agit, en fait, de la distribution de DIRAC, limite quand ε → 0 de la fonction qui vaut 1∕ε quand 0 < t < ε. Calculons d’abord la transformée du créneau :

Quand ε → 0 F(p) tend vers 1. Et si on multiplie le créneau par k, F(p) tend vers k.

 

3.2.3 fonction linéaire du temps.-

c’est une fonction de la forme f(t)  =  a.t où a est une constante et qui est nulle pour t < 0.

Cette fonction peut être considérée comme une fonction à vitesse constante dans un asservissement mécanique. Calculons sa transformée de LAPLACE :

en intégrant par parties.

3.3 Propriétés de la transformation de LAPLACE.

 

3.3.1 Addition.-

L’intégration étant une opération linéaire la transformation de LAPLACE est aussi linéaire. De la sorte si on a :

on pourra écrire :

3.3.2 Dérivation de f(t).-

Soit à rechercher la transformée de f′(t)  =  df∕dt. Supposons que F(p) soit la transformée de f(t) et calculons la transformée de df∕dt :

Toujours en intégrant par parties. Il reste alors (f′)  =  -f(0)  +  p.F(p).La fonction étant nulle avant 0 la transformée de la dérivée devient p.F(p).
Règle pratique : quand on dérive une fonction dans le domaine temporel cela revient à multiplier par p son image dans le domaine des transformées de LAPLACE. On retrouve là un résultat analogue à celui des amplitudes complexes des fonctions sinusoïdales du temps.

3.3.3 Intégration de f(t).-

On montre aussi facilement que si F(p)  ⊏  f(t) alors :

Le terme 1∕p en facteur dans le domaine des transformées de LAPLACE indique une intégration dans le domaine du temps.

3.3.4 Théorème de la valeur finale.-

Soit F(p)  ⊏  f(t)
Si quand t →∞, f(t) tend vers une limite λ, on peut montrer que p.F(p) tend vers la même limite quand p → 0 et réciproquement.

Chapitre 4
Fonction de transfert d’un élément ou d’un système

4.1 Introduction.

Les deux chapitres précédents nous ont fourni deux méthodes d’étude des équations différentielles linéaires à coefficients constants. Dans les deux cas on ramène une équation différentielle à une équation algébrique plus facile à manipuler. Dans le domaine des amplitudes complexes on remplace le symbole d∕dt par une multiplication par j.ω ; dans le domaine des transformées de LAPLACE, on remplace le symbole d∕dt par une multiplication par p. On passe donc, formellement, d’un domaine à l’autre en remplaçant p par j.ω ou l’inverse.
D’un point de vue formel il est plus facile d’écrire p que j.ω, nous allons donc commencer par étudier le problème dans le domaine des transformées de LAPLACE et, si besoin est, nous passerons dans le domaine des amplitudes complexes. Nous avons décidé que les fonctions du temps seraient représentées par des lettres minuscules. En amplitudes complexes ou en transformées de LAPLACE nous adopterons les lettres majuscules.
Soit donc un élément (ou un système) dont la grandeur d’entrée est θ_e(t) et la grandeur de sortie θ_s (t). L’équation différentielle linéaire à coefficients constants qui en régit le comportement peut s’écrire :

 

4.2 Fonction de transfert en transformées de LAPLACE.

Nous désignerons par Θ_e(p) la transformée de LAPLACE de θ_e(t) et par Θ_s(p) la transformée de LAPLACE de θ_s(t). L’équation différentielle précédente se transforme en l’équation algébrique suivante :

De la sorte nous pourrons écrire le rapport de la transformée de la grandeur de sortie à la transformée de la grandeur d’entrée sous la forme :
W(p) est appelée la fonction de transfert dans le domaine des transformées de LAPLACE de l’élément (ou du système). On constate que cette fonction de transfert est une fraction rationnelle de la variable p, rapport de deux polynômes dont les coefficients sont des constantes.
Or nous savons que tout polynôme d’une variable formelle p peut se décomposer en un produit de facteurs du premier ou du second degré en p, supposé pour l’occasion réel.
Le terme du premier degré pourra s’écrire : τ.p ou (1 + τ.p) élevé éventuellement à une puissance entière. Le terme du second degré s’écrira : (1 + 2.S.τ.p + τ².p²), lui sera très rarement élevé à une puissance entière. On remarquera que si p a les dimensions d’une pulsation en s^-1, τ a les dimensions d’un temps en s et S est un nombre sans dimension. Les facteurs ainsi écrits sont alors sans dimensions, ce qui suppose qu’en facteur se trouve une constante ayant la dimension de la grandeur étudiée.

 

4.3 Fonction de transfert en régime harmonique.

Il suffit de remplacer p par j.ω et nous obtenons le rapport de deux polynômes de la variable j.ω. Les produits de monômes ou trinômes précédents s’écriront légèrement différemment pour se conformer à l’usage. Ainsi τ.p devient j.ω∕ω₀, 1 + τ.p sera 1 + j.ω∕ω₀ et le trinôme 1 + 2.S.j.ω∕ω₀ + (j.ω∕ω₀)².
Le régime harmonique donne plus facilement lieu à une représentation graphique que la transformée de LAPLACE. Un nombre complexe est caractérisé par son module et son argument qui sont fonctions de ω. Dans un produit de nombres complexes l’argument du produit est la somme des arguments des termes du produit, ce qui simplifiera l’addition sur un graphique. Mais le module du produit est le produit des modules, ce qui sera plus difficile à tracer sur un graphique. On passe donc du produit à la somme en utilisant les logarithmes. L’habitude a été prise d’utiliser les décibels qui sont dix fois le logarithme décimal d’un rapport de puissance, ou vingt fois le logarithme décimal du rapport de deux grandeurs dont le carré est proportionnel à une puissance.
On en arrive ainsi à la représentation graphique de BODE. On trace deux graphiques, l’un représentant 20.log | | en fonction de k.log ω (échelle logarithmique en ω) et l’autre représentant l’argument φ en fonction de k.log ω. Sur l’échelle logarithmique des ω on définit deux intervalles : une octave qui est la distance entre ω et 2.ω et la décade qui est la distance entre ω et 10.ω.

 

4.4 Diagramme de BODE de j.ω∕ω₀

On commence, bien évidemment, par le plus simple. Ce nombre est un imaginaire pur son argument vaut donc π∕2. On désigne souvent par G = 20.log | | = 20.log(ω∕ω₀), qui est le gain en décibels des électroniciens. L’échelle logarithmique des pulsations est graduée directement en valeur de celles-ci pour simplifier. Si sur l’axe horizontal x = k.log ω alors 20.log ω = 20.x∕k. G est donc représenté par une droite passant par ω = ω₀ G = 0 et si on fait ω = 2.ω ΔG = 6 dB, la pente est de 6 dB∕octave ou bien de 20 dB∕décade.

On a vu que tout polynôme pouvait se mettre sous la forme d’un produit de monômes, binômes et trinômes éventuellement à une puissance entière. Dans le cas d’une fraction rationnelle il y a un polynôme au numérateur et un polynôme au dénominateur. On peut considérer que le dénominateur peut passer au numérateur avec une puissance entière négative. On aura donc à traiter uniquement un produit de facteurs avec des puissances entières positives et négatives.
Par exemple le monôme j.ω∕ω₀ se trouve souvent au carré au numérateur. Il est alors représenté sur la courbe du gain par une droite de pente +12 dB∕octave passant par ω  =  ω₀ et par un déphasage de φ  =  π sur la courbe de phase.
Ce même monôme peut aussi se trouver au dénominateur, et si on le ramène au numérateur il prend la forme : [j.ω∕ω₀]^-1. Il est alors représenté sur la courbe de gain par une droite de pente -6 dB∕octave passant par le point ω  =  ω₀ et par un déphasage de φ  =   - π∕2 sur la courbe de phase.

 

4.5 Diagramme de BODE de 1 + j.ω∕ω₀.

On va commencer par rechercher les asymptotes du diagramme de gain. Quand ω << ω₀ la valeur de la fonction est pratiquement égale à l’unité, de sorte que G  =  20.log(1)  =  0. L’asymptote pour ω < ω₀ sera donc l’axe des ω.
Pour ω >> ω₀ on pourra négliger 1 devant j.ω∕ω₀ et on retombe sur la fonction étudiée plus haut. A partir de ω₀ l’asymptote est la demi-droite de pente 6 dB∕octave passant par le point ω  =  ω₀.
Il nous suffit de placer un point par rapport aux asymptotes pour tracer la courbe. Le plus simple est de choisir ω  =  ω₀. Alors G  =  20.log |1 + j|  =  20.log 2)  =  3 dB.
De la même façon on cherche les asymptotes de la courbe de phase. Pour ω << ω₀ on voit aisément que φ  =  0. L’asymptote est la demi-droite sur l’axe des ω se terminant en ω₀.
Pour ω très grand on retombe sur le fonction vue plus haut et φ  =  π∕2. Il reste à calculer l’argument pour ω  =  ω₀ soit l’argument de 1 + j qui vaut π∕4. on peut alors tracer les courbes suivantes :

Si maintenant on envisage le même binôme à la puissance -1 (soit au dénominateur) on obtient l’asymptote pour ω >> ω₀ de pente -6 dB∕octave et d’argument -π∕2. Nous laissons au lecteur le soin de faire le dessin. Les courbes ainsi obtenues correspondent à un filtre passe-bas du premier ordre.
Si on multiplie par j.ω∕ω₀ la fonction précédente le lecteur trouvera très facilement que l’on a un filtre passe-haut du premier ordre.

 

4.6 Diagramme de BODE de [1 + j.2.S.ω∕ω₀ + (j.ω∕ω₀)²]^-1.

Nous avons choisi, cette fois-ci, le trinôme du second degré au dénominateur car c’est le cas le plus fréquent. Il correspond au filtre passe-bas du second ordre. En plus de la pulsation ω₀ nous avons un coefficient S sans dimension que l’on appelle coefficient d’amortissement. Il est utilisé lorsque l’on s’intéresse aux asservissements. Dans les années 1920 on utilisait Q  =  1∕(2.S) appelé facteur de surtension car les circuits électriques étaient surtout utilisés comme filtre passe-bande à bande étroite. Pour les asservissements nous abandonnerons cette notation.
Pour simplifier l’écriture des calculs il est commode de passer en mode réduit : ainsi on désignera par ν  =  ω∕ω₀ la pulsation réduite (sans dimension) et le trinôme devient :

Calculons d’abord les asymptotes. Pour ν très petit la fonction vaut 1, le gain G = 0 dB et l’argument φ = 0. Pour ν très grand l’asymptote du gain est une droite de pente -12 dB∕octave passant par ω = ω₀ et l’asymptote de l’argument vaut -π. Pour ν = 1 l’argument vaut -π∕2 et toutes les courbes de phase passeront par ce point.
Pour le gain le calcul est un peu plus compliqué, en effet il vaut :
Nous obtenons un trinôme bicarré en ν², posons ν²  =  X  > 0, le trinôme devient 1 + 2.(2.S² - 1).X + X². Le premier coefficient étant positif il passera par un minimum pour X  =  1 - 2.S². Or il faut X > 0 donc 2.S² < 1 ou S < 1∕. Ce trinôme étant au dénominateur le gain passera par un maximum pour S < 1∕.
Par ailleurs le discriminant du trinôme vaut (2.S² - 1)² - 1  =  4.S⁴ - 4.S²  =  4.S²(S² - 1).Il n’est positif que pour S > 1 S > 0. Dans ces conditions le trinôme a deux racines réelles et peut se mettre sous la forme d’un produit de deux binômes du premier degré. Par exemple pour S  =  1 la fonction s’écrirait : [1 + j.ν]^-2.
On voit donc que pour S > 1 on est ramené à un cas plus simple que nous laisserons de coté. Il nous faut calculer la valeur du gain pour ν  =  1 soit G  =   - 20.log(2.S). On voit que pour S  =  1∕2 G  =  0 dB, pour S  =  1∕ G  =   - 3 dB et pour S  =  1 G  =   - 6 dB. On rappelle que log(2)  =  0,30103.
Pour S  =  1∕ la valeur de X pour le maximum est X  =  0, donc le maximum est sur l’asymptote horizontale à -∞. Pour S  =  1∕2 X  =  1∕2 et ω_m  =  ω₀∕ et le gain vaut G  =   - 10.log(3∕4)  =  1,2 dB.
Avec ces valeurs nous pourrons tracer trois courbes intéressantes pour : S = 1∕2 S = 1∕ S = 1.

Les courbes que nous venons de tracer vont nous permettre de faire connaissance avec deux types de filtres très répandus. Nous nous limiterons au début au filtre passe-bas d’ordre deux. Lorsque S  =  1∕ nous avons vu que pour ω petit la courbe de gain était proche de l’axe des pulsations au quatrième ordre près. Ce type de filtre est appelé : filtre de BUTTERWORTH. Le gain pour l’ordre deux s’écrit :G dB  =   - 10.log[1 + (ω²∕ω₀²)²]
Pour S  =  1, la fonction de transfert devient le carré d’un binôme : [1 + jω∕ω₀]^-2 et le gain vaut : G dB =   - 10.log[1 + ω²∕ω₀²]².. Ce type de filtre est appelé : filtre de BESSEL.
En passant à l’ordre n le gain du filtre de BUTTERWORTH est : G dB =  - 10.log[1 + (ω²∕ω₀²)ⁿ]. Ce qui fait que quel que soit n pour ω = ω₀ G  =   - 3 dB.
A l’ordre n le gain du filtre de BESSEL vaut : G dB =   - 10.log[1 + ω²∕ω₀²]ⁿ et pour ω  =  ω₀ G  =   - n.3 dB

 

4.7 Différentes fonctions de transfert d’un système asservi.

 

4.7.1 Fonctions de transfert d’éléments en série.-

Considérons des éléments en série de fonctions de transfert respectives W₁,W₂,W₃ et ne réagissant pas l’un sur l’autre. Il est bon de préciser ce dernier point : on dit que l’élément 2, par exemple, ne réagit pas sur l’élément 1, si la sortie de l’élément 1 reste la même que l’élément 2 soit en place ou non. S’il n’en est pas ainsi il faut regrouper ces deux éléments pour en faire un seul.
En particulier, dans le cas de circuits électriques un circuit 2 ne réagit pas sur un circuit 1 si l’impédance d’entrée du circuit 2 est très grande devant l’impédance de sortie du circuit 1.

La fonction de transfert totale s’écrira :

 

4.7.2 Fonction de transfert en boucle ouverte d’un système asservi.-

Pour commencer nous nous placerons dans le cas le plus simple et pourtant le plus fréquent : la grandeur de sortie est de même nature que la grandeur d’entrée et nous voulons qu’elle suive le mieux possible cette dernière. La chaîne directe allant du détecteur d’écart à la sortie a une fonction de transfert W et la chaîne de retour allant de la sortie à l’entrée - du détecteur d’écart a une fonction de transfert égale à 1.

Si nous coupons la boucle en un point quelconque,par exemple celui marqué d’une croix, la fonction de transfert du point 1 au point 2 (dans le sens de circulation du signal) aura pour valeur -W. Pour cela nous faisons Θ_e = 0 et le détecteur d’écart change le signe du signal qui le traverse. De plus, aux points 1 et 2 on a nécessairement des grandeurs de même espèce de sorte qu’on pourra étudier -W en régime harmonique.
Si, en plus, on produit la coupure en un endroit de la boucle où les grandeurs sont électriques on pourra mesurer le gain et la phase. La notion de fonction de transfert en boucle ouverte correspond à une réalité physique mesurable, d’où son intérêt.

 

4.7.3 Fonction de transfert en boucle fermée d’un système asservi.-

La fonction de transfert en boucle fermée est, par définition, le rapport T  =  Θ_s∕Θ_e. Pour le calcul nous rappelons que Θ_s = ε.W = (Θ_e - Θ_s).W ; soit encore :

En régime harmonique on a pu mesurer le gain et la phase et donc connaître le module et l’argument de W. Le calcul de T pourra donc se faire par les nombres complexes. Mais pour éviter cette fatigue, il existe un abaque,dit "abaque de BLACK" , qui donne le module et l’argument de la fonction 1∕(1 + z),z étant un nombre complexe de module ρ et d’argument φ.

 

4.7.4 Cas où le système a une fonction de transfert dans la chaîne de retour.-

L’erreur ε a maintenant pour valeur : ε  =  Θ_e - W₂.Θ_s. On a toujours : Θ_s  =  ε.W₁, ce qui donne :

Ce qui donne finalement :
Cette fonction de transfert en boucle fermée peut être représentée de la façon suivante :

L’introduction d’une fonction de transfert dans la chaîne de retour revient à modifier la fonction de transfert en boucle fermée de l’ensemble. Un tel procédé est assez souvent utilisé pour changer la fonction de transfert d’un élément. Nous verrons plus loin que cette théorie s’applique parfaitement à la rétroaction dans les circuits électroniques. Pour les plus anciens on disait alors "contre-réaction&quot;.

 

4.7.5 Condition d’asservissement.-

On cherche à obtenir  Θ_s  =  Θ_e  soit donc Θ_s∕Θ_e  =  1. Il faut donc que :

Cette relation n’est vérifiée que pour W infini : l’asservissement idéal n’existe pas. On devra se contenter d’un asservissement réel avec le minimum d’erreur possible.

Chapitre 5
Stabilité des asservissements

5.1 Introduction

Nous dirons qu’un asservissement est stable si, d’abord, en l’absence de toute action la réponse est nulle, ensuite, si on lui applique une action finie, la réponse ne devient pas infinie au bout d’un temps très long.
Le plus souvent les grandeurs d’entrée et de sortie ne peuvent pas être infinies : la linéarité du système n’est assurée qu’entre des limites assez strictes. Un amplificateur, par exemple, ne peut fournir une tension de sortie proportionnelle à la tension d’entrée qu’entre les limites de la tension d’alimentation. L’un des rares cas où les deux grandeurs peuvent être infinies est celui où il s’agit d’angles de rotation, tout au moins en théorie. En effet, mécaniquement, les axes finissent par s’user et la durée de vie de la rotation n’est pas infinie.
Pour faire une étude exhaustive de la stabilité il est bon de se placer dans le domaine de la transformation de LAPLACE, et d’utiliser la transformation inverse pour repasser dans le domaine du temps. Dans le cadre d’une théorie élémentaire on peut se contenter d’un critère plus simple en représentation de BODE.

 

5.2 Critère de stabilité simplifié dans le diagramme de BODE.

Restons, pour l’instant, dans le cas où la boucle de retour a une fonction de transfert égale à l’unité. La fonction de transfert de la chaîne directe W(jω) est celle d’un filtre passe-bas démarrant de ω = 0 et possédant une pulsation de coupure ω_c quand G = 0. Nous sommes toujours dans l’approximation des régimes quasi stationnaires, c’est à dire que les phénomènes de propagation sont négligés.
Si pour ω_c la phase φ = -π le détecteur d’écart rétablit une phase 2.π à l’entrée de la chaîne directe, |W(jω_c)| = 1 et le système fournit une oscillation à la pulsation ω_c. Il est donc instable. Il en est de même si φ < -π.
Un critère simple est donc de considérer que si pour ω_c le déphasage φ est supérieur à -π, le système sera stable. Il le sera d’autant plus que la différence π + φ_c = Δφ sera grande (φ_c < 0).

La différence Δφ est appelée la marge de phase, plus elle est élevée plus le système est stable. Dans la pratique on considère qu’une marge de phase comprise entre 45^∘ et 60^∘ est convenable. Il ne faut pas oublier qu’en fabrication industrielle il y a une dispersion sur les caractéristiques des composants et que la marge de phase peut varier d’un système à un autre et aussi en fonction du vieillissement. Il est donc bon de prévoir une marge de sécurité.
Si, avec un système donné, la marge de phase n’est pas suffisante, il existe deux méthodes pour l’améliorer :
La première consiste à réduire le gain de la fonction de transfert, on diminue ainsi la pulsation de coupure et on augmente la marge de phase. L’inconvénient est que la bande passante se réduit et que les performances au niveau de l’erreur sont plus faibles comme nous le verrons plus loin.
La seconde consiste à insérer dans la chaîne directe, à un endroit où la grandeur est électrique un réseau à avance de phase ayant un maximum pour ω_c.Cela n’est possible que pour les asservissements possédant une telle grandeur électrique, fort heureusement c’est le cas général.

 

5.3 Étude d’un réseau à avance de phase.

Il est constitué d’un condensateur et de deux résistances suivant le schéma ci-après :

Dans le domaine des amplitudes complexes, l’impédance de R₁ en parallèle avec C vaut : R₁∕(1 + jω.C.R₁) et la fonction de transfert de l’ensemble s’écrira :

Posons ω₀ = 1∕R₁.C et α = R₂∕(R₁ + R₂) la fonction de transfert vaut donc :
Nous avons une constante inférieure à 1 en facteur ce qui donnera un gain négatif en décibels. On trace les asymptotes des courbes de gain et phase pour les binômes et on voit que la courbe de phase passe par un maximum pour ω_m = ω₀∕ par symétrie de la courbe en échelle logarithmique :

En choisissant ω_m au voisinage de ω_c on augmentera la marge de phase. En revanche le gain de ce circuit est diminué de 20.log α, pour rétablir le gain initial il faudra ajouter un amplificateur de gain constant 20. log(1∕α).

 

5.4 Application au cas des amplificateurs à lampes avec rétroaction.

Bien avant l’invention des transistors et des circuits intégrés, le seul moyen commode d’amplifier les signaux électriques était le tube électronique. La triode a été inventée par LEE DE FOREST au début du vingtième siècle, et ses développements (tétrode et pentode) ont rapidement suivi. Pour l’amplification basse fréquence destinée à alimenter des haut-parleurs dont l’impédance est de 4,8 ou 16 Ohms il faut des tensions faibles et des courants élevés ce que les tubes ne peuvent fournir car ils travaillent à tension élevée (quelques centaines de volts) et courant faible ( de l’ordre de quelques centaines de milliampères). Il faut donc procéder à une adaptation d’impédance à l’aide d’un transformateur. Cet élément ne passe pas le continu et a donc une partie filtre passe-haut à 6 dB∕octave. Aux fréquences élevées il se comporte comme un filtre passe-bas avec ,cette fois, une pente de -12 dB∕octave. Comme, par ailleurs la partie "lampes" est aussi un filtre passe-bas ( à cause des capacités de fuite), la phase aux hautes fréquences sera inférieure à -π et le risque d’instabilité lors du bouclage non négligeable.
Les lampes ne sont pas des composants absolument linéaires et pour améliorer l’amplification on utilise une rétroaction formée d’un pont diviseur à résistances. Celles-ci sont relativement plus linéaires à condition de ne pas les faire trop chauffer. Si l’amplificateur a une tendance à l’instabilité il suffit d’ajouter un condensateur pour obtenir le circuit à avance de phase étudié précédemment.

 

5.5 Application au cas des amplificateurs opérationnels.

Un amplificateur opérationnel est un circuit intégré formé d’un élément qui fournit la différence de deux signaux d’entrée (entrée "+" et entrée "-"). Cette différence est ensuite fortement amplifiée par plusieurs étages à transistors soit bipolaires soit à effet de champ ( actuellement les étages d’entrée sont le plus souvent à effet de champ car leur résistance d’entrée est très élevée, de l’ordre de la centaine de Méghom , ainsi ils ne perturbent pas le circuit précédent). Ces amplificateurs laissent passer les signaux continus, mais par suite des capacités parasites inhérentes à tout montage électronique, ils constituent un filtre passe-bas. Chaque étage à transistor se comporte, au minimum, comme un filtre passe-bas du premier ordre avec une pente de -6 dB∕octave.
Comme il y a plus de deux étages le déphasage est inférieur à -π et, lors du bouclage il y a un risque d’instabilité. Pour simplifier le schéma envisageons le cas de trois étages et traçons les diagrammes de BODE correspondant :

Pour la courbe de gain nous n’avons tracé que les asymptotes en traits continus. On constate que si la pulsation est assez inférieure à la pulsation de coupure le système sera stable. Mais si on désire un gain de 0 dB on a l’instabilité assurée. Or les amplificateurs opérationnels sont souvent utilisés en montage à gain unité ( il peut y avoir confusion entre le gain en décibels et le gain unité mais les électroniciens s’y retrouvent). Dans ce cas la boucle de retour est un simple fil sur l’entrée "-" et le montage joue le rôle d’une séparation entre deux parties d’un circuit : l’impédance d’entrée est quasi infinie et l’impédance de sortie quasi nulle (nous verrons plus loin pourquoi, un peu de patience !). Pour éviter l’instabilité il faut faire en sorte que jusqu’à ω_c la pente du filtre soit de -6 dB∕octave. Pour cela on augmente une capacité parasite et on obtient l’asymptote en pointillés. On voit que la phase ne pourra pas descendre en dessous de -π∕2 et la stabilité est assurée. On dit alors que l’amplificateur opérationnel est compensé en fréquence pour le gain unité. De nombreux amplificateurs opérationnels du commerce sont compensés en fréquence même si cela n’est pas dit, ce sont en particulier ceux que l’on utilise pour les travaux pratiques d’électronique.
Dans le cas de la compensation en fréquence on définit le produit gain-bande qui est le produit de l’amplification par la bande passante en Hertz. Pour le gain unité cela représente la bande passante : par exemple pour le TL071 ce produit vaut 4 MHz. Si on prend un gain de 10 la bande passante sera de 400 kHz.

 

5.6 Modèle simplifié de l’amplificateur opérationnel compensé en fréquence.

Comme nous venons de le voir l’amplificateur opérationnel comporte un soustracteur et un amplificateur de grand gain supportant le bouclage sur l’entrée "-" avec un simple fil sans risquer d’instabilité. En pratique le bouclage se fait avec des composants passifs ne pouvant pas perturber la stabilité : il s’agit le plus souvent de résistances ou de condensateurs. Le schéma de principe peut alors se dessiner comme ci-après avec la représentation classique de l’amplificateur opérationnel :

Le gain A₀ de la fonction de transfert W₁ étant très grand devant l’unité, la pulsation de coupure ω_c définie plus haut est très grande devant ω₀. Par définition |W₁(j.ω_c)| = 1, soit 1 = A₀∕. D’après ce qui a été vu précédemment on peut négliger 1 sous le radical et il reste A₀.ω₀ = ω_c.
La fonction de transfert en boucle fermée dans ce cas s’écrit :

Or dans la bande passante W₁ est très grand, W₂ n’est pas très petit et le produit W₁.W₂ reste grand devant 1 que l’on pourra donc négliger au dénominateur. Ainsi la fonction de transfert en boucle fermée est peu différente de 1∕W₂. Tout se passe comme si la différence entre la tension de l’entrée "+" et la tension de l’entrée "-" était pratiquement nulle. On admet donc, dans un premier temps, que l’amplificateur opérationnel est une boîte noire bouclée sur l’entrée "-" par un circuit passif où les tensions des entrées "+" et "-" sont identiques. C’est le modèle utilisé juste après le bac.

 

5.7 Quelques applications simples.

 

5.7.1 Amplificateur sans changement de signe.-

Ici on entre directement entre l’entrée "+" et la masse, ce qui assure au montage une impédance d’entrée quasi infinie et ne perturbera pas le circuit précédent. La boucle de retour est constituée d’un simple pont diviseur à résistances :

Nous avons choisi comme résistance de charge de l’amplificateur opérationnel la valeur de 3,3 kΩ qui est très fréquemment utilisée par les électroniciens. D’après le résultat vu plus haut la fonction de transfert en boucle fermée vaut 1∕W₂ soit ici (R₁ + R₂)∕R₂. On peut aussi utiliser la remarque précédente où U₊ = U_- et on aboutit à U₊ = U_e = R₂.U_s∕(R₁ + R₂) (propriété du diviseur potentiométrique), ce qui donne le même résultat.
Il faut remarquer que l’on a pas intérêt à avoir une trop grande amplification, sans quoi la bande passante se restreint. En général on ne dépasse pas quelques dizaines, et, si on a besoin d’un plus grand gain, on met deux étages en cascade.

 

5.7.2 Amplificateur avec changement de signe.-

Dans ce cas l’entrée "+" est au potentiel 0, soit à la masse. Donc l’entrée "-" est à ce même potentiel virtuel. En effet vue la très grande résistance d’entrée aucun courant ne rentre dans l’amplificateur. Pour des raisons de commodité on a inversé les entrées de l’amplificateur opérationnel.

Le courant qui va de U_e vers U_- = 0 est le même que celui qui va de U_- vers U_s, de sorte que l’on peut écrire : (U_e - 0)∕R₂ = (0 - U_s)∕R₁ soit U_s∕U_e = -R₁∕R₂. Il y a bien amplification avec changement de signe (si R₁ > R₂). L’inconvénient de ce montage est que sa résistance d’entrée est égale à R₂ et qu’elle est donc petite et peut perturber le circuit qui précède. Pour éviter cela il suffit de faire précéder ce montage d’un amplificateur suiveur de gain unité qui, lui, a une résistance d’entrée quasi infinie.

 

Chapitre 6
Erreurs - Précisions

6.1 Introduction.

Nous avons étudié jusqu’à maintenant le comportement et la stabilité des asservissements, mais nous ne savons rien des performances du système à l’application d’une action d’un type donné. En particulier il sera bon de savoir si le système donne bien à la sortie ce que l’on met à l’entrée et s’il n’y a pas de décalage entre grandeur d’entrée et de sortie. Ceci va nous imposer l’étude des erreurs dues au système.
De la même façon on n’est pas sûr de conserver l’intégrité; de l’appareil et des perturbations parasites peuvent apparaître en un point de la boucle ; il nous faudra donc préciser le rôle régulateur de l’asservissement.
Voyons, de façon générale comment on peut calculer l’erreur résultant d’une action Θ_e dans le cas où la chaîne de retour a un gain unité (Θ_s et Θ_e sont de même nature et on désire, si possible, leur égalité).

Avec les formules que nous avions déjà écrites nous pouvons déduire :

Ce dernier rapport est l’erreur relative qui sera d’autant plus petite que W sera grand.

 

6.2 Erreur du premier ordre.

Par définition c’est l’erreur permanente (au bout d’un temps infini) qui résulte de l’application d’une action de la forme : θ_e  =  θ₀.Γ(t). Γ(t) représente toujours la fonction échelon unité nulle pour t < 0 et égale à 1 pour t > 0. θ₀ est une constante qui a la même dimension que la grandeur d’entrée.
Comme il s’agit d’un régime transitoire nous nous plaçons dans le domaine des transformées de LAPLACE et nous écrirons l’erreur sous la forme :

Nous cherchons l’erreur permanente, soit donc la limite de ε₁(t) lorsque t tend vers l’infini. Une propriété de la transformation de LAPLACE permet de relier cette limite à une limite de ε₁(p). En effet :
De sorte que l’erreur permanente sera la limite de l’expression :
A l’intérieur de la bande passante W est beaucoup plus grand que 1 et l’erreur pourra s’écrire :
Suivant la forme de la fonction de transfert on aura des erreurs différentes :
Supposons que W contienne au numérateur un terme de la forme pⁿ (n entier positif). L’erreur sera infinie et le système sera à revoir.
Si maintenant W ne contient aucun terme en p tout seul ni au numérateur, ni au dénominateur W(0) est un réel qui a la même valeur que W(j.0) si ω = 0 les termes imaginaires sont nuls et W(j.0) est réel. L’erreur du premier ordre devient alors :
On constate que cette erreur sera d’autant plus faible que le gain aux basses fréquences sera grand.
Si, finalement, W contient un terme pⁿ au dénominateur, 1∕W aura ce terme en facteur au numérateur et l’erreur du premier ordre sera nulle. Le système est parfait pour ce critère. Pour que cela soit réalisé il suffit d’avoir n  =  1 et donc 1∕p en facteur de la fonction de transfert. Or quand on a p en facteur cela implique une dérivation, 1∕p correspond donc à une intégration, d’où le résultat :
"l’erreur du premier ordre est nulle si le système a, au moins, un intégrateur dans la boucle".

La courbe en traits continus correspond au cas où l’erreur du premier ordre est finie, celle en pointillés au cas où l’erreur est nulle.

 

6.3 Erreur du second ordre.

C’est l’erreur permanente qui résulte de l’application d’une action de la forme :

soit par exemple le démarrage d’une antenne de radar de veille où l’on désire que l’angle de rotation de l’antenne soit identique à l’angle de rotation sur l’écran. On applique encore les résultats du calcul symbolique par la transformation de LAPLACE :
L’erreur permanente sera alors :
Nous voyons nettement que si W n’a pas de terme en pⁿ en facteur au dénominateur, l’erreur du second ordre sera infinie.
Si W a p en facteur au dénominateur, l’erreur du second ordre aura une valeur finie. Posons W′  =  p.W, l’erreur du second ordre s’écrira : ε₂  =  k∕W′(j.0).
Si W a un terme en p² en facteur au dénominateur, l’erreur du second ordre sera nulle. Cela suppose la présence d’un double intégrateur dans la chaîne.

La courbe en traits pleins correspond à une erreur du second ordre finie, celle en traits pointillés à une erreur nulle.

 

6.4 Relation entre erreur du premier et du second ordre.

 

En simplifiant nous pouvons écrire :
En revenant au régime des temps 1∕p représente l’intégrale de 0 à t, de sorte que :
En intégrant de 0 à l’infini cela nous montre, en particulier, que lorsque l’erreur du premier ordre est finie, l’erreur du second ordre est infinie.
D’autre part, si nous désirons une erreur du second ordre nulle, nous devons admettre que la réponse à une action du type θ₀.Γ(t) soit de type oscillatoire autour de θ₀ sans quoi l’intégrale ne pourrait pas être nulle. La somme des aires au dessus de θ₀ doit être égale à la somme des aires au dessous de θ₀ .

 

6.5 Diminution d’une erreur finie.

Nous avons vu que lorsqu’il existait une erreur finie du premier ordre, elle était inversement proportionnelle au gain W(j.0) aux fréquences basses. Dans le cas d’une erreur finie du second ordre elle est inversement proportionnelle au gain W′(j.0) défini plus haut. Dans les deux cas pour réduire l’erreur il faut augmenter le gain aux basses fréquences sans perturber la stabilité du système. Il ne faudra donc pas modifier le gain au voisinage de la fréquence de coupure.
Lorsqu’en un point de la chaîne les grandeurs sont électriques on peut utiliser le circuit très simple suivant :

Dans le domaine des amplitudes complexes la fonction de transfert de cet élément sera :

Posons ω₂  =  1∕R₂.C et ω₁  =  1∕(R₁ + R₂).C, avec ω₁  <  ω₂. La fonction de transfert devient :
Les courbes de gain et de phase dans le diagramme de BODE sont les suivantes :

Ce circuit, étant constitué de composants passifs, n’a pas de gain propre. Pour augmenter le gain aux basses fréquences il faut lui adjoindre un amplificateur de gain 20.log[(R₁ + R₂)∕R₂], ainsi on ne perturbe pas la fonction de transfert aux fréquences élevées.

 

6.6 Correction par boucle de retour.

On utilise parfois une autre méthode de correction. Au lieu de mettre le circuit correcteur en série dans la chaîne directe, on modifie la fonction de transfert d’un élément en le bouclant sur lui-même à l’aide d’un système correcteur. Le schéma suivant représente un élément de la chaîne directe :

Nous avons vu que, dans ce cas, la fonction de transfert de l’ensemble était :

L’intérêt d’un tel dispositif est que W₁ peut recevoir un apport d’énergie extérieur, le système augmente donc la puissance mise en jeu et cela de façon stable puisque la fonction de transfert ne dépend que de W₂ qui est, en général, un circuit passif.
On peut envisager un tel type de circuit bâti autour d’un amplificateur opérationnel qui fournira l’amplification nécessaire :

Dans le cas du modèle simplifié de l’amplificateur opérationnel on a Ue  =  U₊  =  U_-. La chaîne de retour n’est pas autre chose que le circuit à avance de phase étudié à la section 5.3. La fonction de transfert U_s ∕U_e sera donc l’inverse de celle calculée dans cette section :

En posant ω₁  =  1∕(C.R₁) et ω₂  =  (R₁ + R₂)∕(C.R₁.R₂), on retrouve bien la fonction de transfert du circuit passif précédent. Aux fréquences très basses l’impédance du condensateur est quasi infinie, et on un simple amplificateur comme vu en 5.7.1 . Aux fréquences très élevées le condensateur se comporte comme un court-circuit et on a un montage suiveur.

 

6.7 Rôle régulateur du système asservi.

Il peut arriver qu’en un point quelconque de la chaîne se produise une perturbation qui s’ajoute au signal transmis. Cela revient à couper la chaîne directe en deux éléments avec entre les deux un additionneur qui ajoute la perturbation que nous désignerons par ϒ en calcul symbolique. Nous désirons qu’à la sortie il y ait les variations les plus faibles dues à ce parasite. Nous envisageons toujours le cas simple où la chaîne de retour a un gain unité.

Nous poserons toujours W  =  W₁.W₂. Il est facile de voir que si Θ_e  =  0, il y aura quelque chose à la sortie qui représentera l’erreur due à la perturbation. Nous aurons :

Ce rapport représente l’erreur relative due à la perturbation ϒ. Cette erreur sera d’autant plus petite que W sera grand et W₂ petit. La perturbation à la sortie du système sera d’autant plus faible que le gain en boucle ouverte est grand et que le parasite se produit près de la sortie du système.
Un asservissement linéaire réagit toujours en sens contraire des perturbations et tend à se réguler lui-même.

 

6.8 Influence de la résistance de sortie de l’amplificateur opérationnel sur le gain.

Dans un modèle plus élaboré on peut considérer que la résistance de sortie d’un amplificateur opérationnel constitue une perturbation du système.Désignons par ε  =  U₊ -U_- la différence entre les grandeurs d’entrée. En sortie nous aurons un générateur de force électromotrice A₀.ε et de résistance intérieure R_i.
Pour simplifier envisageons le cas de l’amplificateur sans inversion de phase :

La résistance totale de charge du générateur équivalent en sortie est constituée par R_L en parallèle avec R₁ et R₂ en série. L’ensemble constitue une résistance R_T .On a donc :

En effet, dans un amplificateur opérationnel normal, A₀ est de l’ordre de 10⁵ à 10⁶ voire même plus et 1∕A₀ est négligeable devant l’autre terme au dénominateur. On constate ainsi que l’influence de la résistance intérieure du générateur de sortie est négligeable et qu’on peut se contenter du modèle simplifié.

 

6.9 Amélioration de la transmission des signaux électriques le long d’une ligne.

Le plus souvent dans un asservissement il y a une certaine distance entre la grandeur d’entrée et la grandeur de sortie. De plus la transmission du signal entre ces deux points fait appel à une ligne électrique. Or en milieu industriel ou maritime on a de nombreux parasites électromagnétiques qui peuvent provoquer une perturbation de typeϒ vue précédemment.
Pour limiter l’effet de ces perturbations on utilise une ligne avec une masse et deux conducteurs transmettant des signaux en opposition de phase. A l’arrivée de la ligne on fait la différence des deux signaux de sorte que toute perturbation en un point de la ligne s’élimine :

Pour obtenir à partir d’un signal U_e deux signaux en opposition de phase on utilise un double amplificateur opérationnel : l’un en suiveur et l’autre en amplificateur inverseur de gain unité. On peut avoir le schéma simple suivant :

Les résistances R doivent être aussi égales que possible pour assurer le gain unité. Pour ne pas surcharger le dessin nous avons omis les résistances de charge, qui sont nécessaires. Si on a les moyens on peut s’offrir un symétriseur de ligne tel que le "DRV134" qui coûte quelques euros. Dans ce circuit intégré les résistances sont ajustées en fabrication au laser.
A l’autre bout de la ligne il faut un circuit qui fait la différence des deux signaux. Là encore on peut utiliser un amplificateur opérationnel :

Là encore les résistances doivent être égales deux par deux. On peut pour ne pas surcharger la ligne mettre deux étage suiveurs devant les entrées -Ue et +U_e. Sur l’entrée "+" la tension U₊  =  U_e∕2 (diviseur potentiométrique). D’après le modèle simplifié la tension U_- a la même valeur, on peut donc écrire : U_s - U_e∕2  =  U_e∕2 - (-Ue) ce qui donne finalement U_s  =  2.U_e. Et les parasites éventuels se sont éliminés dans la différence des tensions.
Pour éviter de réaliser ce montage on trouve un circuit intégré qui a le même usage : on peut citer le "INA134" du même ordre de prix. Les fanatiques de reproduction sonore auront ,bien entendu, reconnu le passage du "RCA" au "XLR" et réciproquement.

T.S.V.P.

 

En guise de conclusion.

Les asservissements linéaires se sont développés en même temps que la technologie des tubes de Radio ( on ne disait pas encore électronique). A titre de point de repère dans le temps, la revue "Toute la Radio" a changé son nom en "Toute l’Électronique&quot; en novembre 1962. C’est pendant la deuxième guerre mondiale que les travaux sur les asservissements ont été les plus fructueux. Si les Anglais ont gagné la bataille d’Angleterre conte les avions ennemis qui bombardaient leur pays c’est grâce, entre autre, à la mise au point de radars performants (utilisant des asservissements) qui permettaient de donner l’alerte avant l’arrivée des bombardiers sur les côtes.
Cette discipline a aussi été développée aux États Unis, qui après la défaite de Pearl Harbour, ont compris tout l’intérêt qu’il y avait à déceler les avions ennemis bien avant qu’il ne soient visibles à l’œil nu.
Après la guerre la France s’est reconstruite et les grandes écoles d’ingénieurs ont mis à leur programme la théorie des asservissements, qui servaient non seulement dans les radars mais aussi dans la conduite des aéronefs et des navires. Le livre de référence de cette époque avait été écrit par trois professeurs de l’École Nationale Supérieure des Techniques Avancées : Messieurs GILLES, DECAULNE et PELLEGRIN . L’auteur de ce petit cours, que l’on pourrait ranger dans l’archéologie scientifique, s’en est servi à la fin des années 1950 pour son enseignement à l’École des Officiers Détecteurs de la Marine Nationale.
L’enthousiasme soulevé par cette nouvelle matière a incité des nombreux chercheurs et inventeurs à l’appliquer à de nouveaux problèmes. Dans ces années on a cherché à améliorer la reproduction sonore : c’est ainsi qu’est née la Haute Fidélité. Les amplificateurs B.F. à lampes avaient déjà atteint un degré de sophistication élevé,avec, entre autre, la maîtrise de la contre-réaction. Mais les haut-parleurs n’avaient pas suivi ces progrès. Il a donc paru tentant de réaliser l’asservissement des enceintes acoustiques et de nombreuses firmes se sont lancées dans l’aventure. Malheureusement aucune n’a réussi et certaines ont même dû mettre la clé sous la porte. Cela tient au fait que le haut-parleur électrodynamique est, dans le modèle standard, un filtre passe-haut et qu’on ne peut lui appliquer la modélisation élémentaire qui vient d’être décrite.
Les asservissements linéaires ont, peu à peu, cédé la place aux asservissements numériques sans que l’on puise y voir un progrès pour les objets d’usage courant. Bien que les constructeurs s’en défendent les régulateurs de vitesse ne sont pas aussi fiables qu’ils le devraient, même la Justice en convient.
L’auteur espère que ce livret permettra aux jeunes générations de mieux comprendre certains points du fonctionnement des amplificateurs opérationnels, qui n’existaient pas à l’époque, et pour lesquels la modélisation des asservissements linéaires s’applique parfaitement.