Brouchier: Haut parleur, Hifi, Enceinte, etc.

RÉSUMÉ

Les calculs sur les fonctions sinusoïdales du temps font souvent l’objet d’un enseignant à l’autre de bricolages qui troublent les élèves. L’auteur propose une méthode d’exposition de la méthode des amplitudes complexes un peu plus mathématisée tout en restant très physique.On abordera au passage la notion d’impédance complexe pour en fixer les limites et la méthode des analogies ”électrique-mécanique” pour montrer que l’on peut s’en passer dans un enseignement actuel de la physique.

 

1 Introduction

La physique (et la science en général) propose des modèles de représentation du monde qui nous entoure. Ces modèles sont basés sur l’observation et l’expérience.Pour en tirer des conséquences utilisables il faut faire des mesures et vérifier qu’elles sont cohérentes entre elles.

Les mathématiques deviennent un outil incontournable pour cela.Le résultat d’une mesure est un nombre (au sens large) et la relation entre des nombres constitue la théorie des fonctions numériques avec la définition des fonctions dérivées qui sont à la base de toute formule physique.

Les fonctions sinusoïdales du temps sont très utilisées pour décrire la réaction d’un système à une excitation fonction sinusoïdale du temps depuis un temps infini (ou presque). En effet elles sont indéfiniment dérivables.

Le problème est que leur écriture est lourde, et on a cherché à alléger les calculs. Pour cela on a enlevé le costume pour ne conserver que le squelette.

 

2 Petit rappel de mathématiques.

Les nombres entiers, puis les rationnels et enfin les irrationnels constituent l’ensemble des réels.Ils permettent de mesurer une grandeur par un seul nombre. Or de nombreuses grandeurs (comme les vecteurs) demandent au moins trois nombres. On a donc étendu la notion de nombre simple à une suite ordonnée de n nombre que l’on appelle ”n-uplet”.

La plus simple de ces suites constitue le ”2-uplet” qu’historiquement on appelle nombre complexe (pas si complexe que ça car ils simplifient bien des calculs comme nous l’allons voir).A condition, bien sûr, de munir cet ensemble de l’opération de multiplication de deux nombres complexes de façon à obtenir le corps des complexes.

Voyons maintenant quelques définitions :

L’application qui à un nombre ( au sens large) pris dans un ensemble de nombres fait correspondre un ( ou plusieurs) nombre d’un autre ensemble de nombres s’appelle une fonction numérique.

L’application qui à une fonction (nous n’écrirons plus ”numérique” qui sera sous entendu) prise dans un ensemble de fonctions fait correspondre un (ou plusieurs ) nombre pris dans un ensemble de nombres s’appelle une ”fonctionnelle”. Quand nous calculons une intégrale définie nous faisons une fonctionnelle.

L’application qui à une fonction prise dans un ensemble de fonctions fait correspondre une autre fonction prise dans un autre (ou le même) ensemble de fonctions s’appelle un ”opérateur”. Nous connaissons tous la ”dérivation” qui fournit la fonction dérivée (quand elle existe) d’une fonction.

Les ”lois” de la physique, qui ne sont en fait que le résultat d’une modélisation soumise à modification ultérieure font un grand usage des dérivées sans se soucier de savoir si elles existent. Cela à conduit SOBOLEV et Laurent SCHWARTZ il y a un bon demi siècle à établir la théorie des ”distributions” basée sur une fonctionnelle linéaire sur l’ensemble des fonctions φ(x) à propriétés bien définies dont, entre autres, la dérivabilité à l’infini.Les distributions ainsi définies sont alors indéfiniment dérivables, ce qui est bien commode pour l’écriture des équations différentielles.

La représentation complexe des fonctions sinusoïdales du temps est basée sur le même processus à une échelle plus modeste.

Nous définissons une fonctionnelle linéaire sur l’ensemble des fonctions sinusoïdales du temps de pulsation ω fixée. En effet les équations différentielles rencontrées en physique sont le plus souvent linéaires : ce sont les seules,à quelques exceptions près, que l’on sache résoudre. Ces équations ont un second membre que l’on peut considérer comme l’action et un premier membre résultat de cette action. L’action peut prendre diverses formes mathématiques, mais la plus simple est la fonction sinusoïdale du temps car elle est indéfiniment dérivable et facilement réalisable au laboratoire (générateur BF ou HF, pot vibrant....). De plus toute fonction périodique du temps peut se décomposer en une série de FOURIER, somme de fonctions sinusoïdales du temps.

 

3 La fonctionnelle représentation complexe des fonctions sinusoïdales du temps.

Commençons par le plus simple. Soit une fonction sinusoïdale du temps : x = X_m.cos(ωt + φ), si on connaît ω et t cette fonction est entièrement définie par la connaissance de son amplitude X_m et de sa phase φ, donc par deux nombres. On peut représenter cette fonction comme la projection sur l’axe origine d’un vecteur tournant de longueur X_m d’origine l’origine des axes et d’angle avec l’axe origine ωt + φ.

Si on considère que ce plan est le plan complexe, ce vecteur a pour affixe :

où j² = -1 suivant la notation des physiciens.La fonction sinusoïdale du temps est alors :

Or pour toutes les fonctions sinusoïdales du temps de pulsation ω le terme en e^jωt est le même. Il est donc inutile de l’écrire et la fonction est entièrement déterminée par le nombre complexe X_m.e^jφ. Par ce procédé nous faisons correspondre à une fonction sinusoïdale du temps de pulsation ω un nombre complexe qui la définit entièrement.

Nous avons ainsi une fonctionnelle permettant de passer d’une fonction sinusoïdale du temps de pulsation ω à un nombre complexe.

Si on multiplie la fonction sinusoïdale par une constante k, le nombre complexe est lui-même multiplié par k.

Si on fait la somme de deux (ou plus) fonctions sinusoïdales du temps de pulsation ω, le nombre complexe représentant cette somme est la somme des nombres complexes représentant chacune d’elles.

On peut donc dire que la fonctionnelle ainsi définie est une fonctionnelle linéaire.

Voyons maintenant le problème de la dérivation par rapport au temps :

On retrouve bien le même résultat. La dérivée par rapport au temps de la fonction x = X_m.cos(ωt + φ) est représentée par la multiplication par jω du nombre complexe la représentant.

Nous appellerons ”domaine des amplitudes complexes” l’ensemble des nombres complexes représentant les fonctions sinusoïdales du temps de pulsation ω.

Nous remarquons tout de suite que cette fonctionnelle étant linéaire ne peut pas représenter des produits de fonctions sinusoïdales du temps de même pulsation. Nous verrons plus loin comment contourner ce problème.

On peut résumer tout cela dans le tableau suivant :

 

4 Énorme problème de notation

Pour représenter les amplitudes complexes on trouve dans la littérature toute sorte de notation :

Les lettres majuscules semblant malgré tout être les plus nombreuses.La dernière version avec un chapeau a été trouvée dans un problème de concours récent.

Mais en électrocinétique les lettres V et I sont normalisées par l’AFNOR pour désigner la valeur efficace d’une tension et d’un courant sinusoïdal sur les appareils électriques du commerce. On a donc utilisé le soulignage ou le surlignage pour désigner l’amplitude complexe.

A chaque fois que l’on fait un calcul sur les amplitudes complexes, si on prend l’habitude de dire (ou d’écrire) :” passons dans le domaine des amplitudes complexes” on quitte le domaine des fonctions sinusoïdales du temps pour entrer dans le domaine de leur représentation qui n’a plus rien à voir avec l’AFNOR.

L’auteur propose donc que l’on désigne par une simple lettre majuscule la représentation complexe d’une fonction sinusoïdale du temps.

Par exemple la tension v(t) = V _m.cos(ωt + φ) = V .cos(ωt + φ) pourrait être représentée par la lettre V = V _m.e^jφ = V _eff.e^jφ. En effet les valeurs maximales (V _m) ou efficaces (V _eff) n’apparaissent qu’une seule fois à la fin du calcul. Il n’y a donc aucune ambiguïté possible.

Il faut bien noter que quand on rédige un texte scientifique en LATEX le soulignement demande une commande ”\underline”, qui répétée plusieurs fois devient à la longue pénible.

Dans un même ordre d’idée on peut remarquer que l’habitude anglo-saxonne de représenter dans les livres par des caractères gras les n’est pas très heureuse. L’auteur n’a jamais vu un collègue réussir à faire un caractère gras au tableau. Le surlignage par une flèche est nettement plus simple. Quand la grandeur sinusoïdale à représenter est elle-même un vecteur en lettres majuscules il n’y a aucun inconvénient à conserver la même notation à condition de bien préciser le contexte : fonction sinusoïdale du temps ou amplitude complexe.

 

5 Exemple tout simple

Envisageons le cas d’un circuit passif en électrocinétique dans l’approximation des états quasi stationnaires.

Pour une résistance (ou un résistor si on préfère) on peut écrire pour une fonction du temps quelconque :

valable donc pour une fonction sinusoïdale du temps.

Pour une bobine d’inductance propre L dont on néglige la résistance on a :

et pour un condensateur le courant i est le courant d’amenée des charges sur les armatures. Ce courant ne traverse pas le condensateur qui contient un isolant entre les armatures :

On voit que nous avons là affaire à deux dérivées par rapport au temps, il est donc commode d’utiliser les amplitudes complexes pour les fonctions sinusoïdales du temps de pulsation ω.

Supposons que les trois éléments soient en série et que le courant soit le même pour tous. Passons dans le domaine des amplitudes complexes. Désignons par I l’amplitude complexe du courant, par V _R l’amplitude complexe de la tension aux bornes de la résistance, par V _L l’amplitude complexe de la tension aux bornes de la bobine et par V _C l’amplitude complexe de la tension aux bornes du condensateur.

Pour la résistance on écrit : V _R  =  R.I , pour la bobine V _L  =  jLωI et pour le condensateur I  =  jCωV _C.

C’est là que l’on voit l’intérêt de cette notation, car pour les éléments en série on ajoute les tension, donc leurs amplitudes complexes et il n’y a plus de dérivées et V _C  =  I∕jCω. De sorte que la tension totale V aux bornes du circuit s’écrit :

On définit alors le rapport V∕I = Z impédance complexe du circuit. Là encore certains préfèrent écrire Z pour la distinguer de l’impédance réelle que l’on utilisait il y a un demi siècle quand les nombres complexes n’étaient pas au programme des Terminales scientifiques. L’ancienne impédance réelle est en fait le module de l’impédance complexe. Il faut savoir vivre avec son temps et abandonner de vieux outils quand les outils actuels sont plus performants. Qui se sert encore d’une règle à calcul ?

 

6 A propos de la notion d’impédance complexe

Comme nous venons de le voir sur un exemple simple, la notion d’impédance complexe n’est définie que dans le domaine des amplitudes complexes, qui est le résultat d’une fonctionnelle linéaire. Cela suppose donc que les constantes utilisées dans le calcul le soient effectivement.

En réalité il n’en est rien. La résistance ohmique d’un conducteur dépend de la température et donc du courant qui le traverse. Le calcul fait en la supposant constante n’est qu’approché. Comme dans tous les modèles il y a une part d’incertitude et il ne faut pas prendre le résultat des calculs pour une vérité intangible.

De même pour une bobine avec noyau magnétique, l’inductance propre, quand on peut encore la définir, dépend du courant qui la traverse. Les diélectriques des condensateurs ne sont pas parfaitement linéaires et dépendent de la tension aux bornes. Ainsi la valeur de C peut varier.

L’approximation des équations différentielles linéaires que l’on sait bien résoudre doit donc être tempérée par le fait que les constantes qui s’y trouvent ne le sont pas tout à fait. Cela ne coûte rien de prévenir nos élèves de cet état de fait et de leur signaler que l’étude des phénomènes non linéaires est en pleine expansion et offre un domaine de recherche très vaste.

Si la notion d’impédance complexe a un grand intérêt historique et pratique en électrocinétique des courants sinusoïdaux, il n’en est pas de même dans d’autres domaines de la physique.

En particulier dans le chapitre sur les ondes sonores dans les fluides, le programme de PC demande de définir l’impédance acoustique alors que cette notion n’a aucune application pratique. En plus la définition qui en est donnée ne fait pas appel aux amplitudes complexes ! Elle est née il y a plus d’un demi siècle à l’époque où les analogies ”électrique-mécanique” avaient la faveur des scientifiques quand on avait pas des moyens de calcul aussi puissants qu’aujourd’hui.

Une telle grandeur n’a d’intérêt que si elle est constante sur tout le domaine de mesure. En 1953 l’auteur a pu montrer que la mesure point par point du module de l’impédance acoustique d’un matériau plan placé dans un champ sonore en ondes planes variait assez fortement d’un point à un autre. Ce qui a déçu son Directeur de Recherche qui espérait une valeur constante à introduire comme condition aux limites dans les équations de propagation. Mais les résultats négatifs ont beaucoup de peine à se répandre dans la communauté scientifique.

On pourrait supprimer cette notion du programme ainsi que toutes les analogies ”électrique-mécanique” qui ne peuvent que troubler l’esprit de nos élèves. Ce n’est pas parce que des phénomènes différents sont modélisées par les mêmes équations qu’il sont analogues, c’est simplement que l’on n’a pas d’autres équations à proposer.

 

7 Produit de deux fonctions sinusoïdales du temps de même pulsation

Nous venons de voir que la fonctionnelle linéaire ne permet pas de traiter ce cas en général. On peut malgré tout s’y rattacher dans le calcul d’un produit moyen sur une période : il s’agit là d’un calcul d’intégrale définie qui donne pour résultat un nombre. Pour illustrer cela envisageons le calcul de la puissance moyenne dans un circuit électrique traversé par un courant i(t) = I_m cosωt avec une tension aux bornes v(t) = V _m cos(ωt + φ). La puissance moyenne sur une période est définie par :

Il reste :

V _eff .I_eff est la puissance apparente.

Revenons aux amplitudes complexes :

Le produit des deux donne V _m.I_m.e^jφ. Pour obtenir la puissance moyenne il suffit de prendre la partie réelle de ce produit divisée par 2 :

Mais nous étions là dans un cas particulier où le courant était l’origine des phases. Si maintenant l’origine des phases était quelconque pour le courant soit φ′ le calcul avec les fonctions sinusoïdales du temps précédent donnerait :

En revenant aux amplitudes complexes si I  =  I_m.e^jφ′ le produit V.I  =  V _m.I_m.e^j(φ+φ′) ne convient pas car il faut un signe - dans la parenthèse. Il suffit de prendre le complexe conjugué de I que nous noterons I^*   =  I_m.e^-jφ′ (on remplace j par -j). Alors :

On peut remarquer que le résultat final contient cos(φ - φ′) qui a la même valeur que cos(φ′- φ) de sorte que :

De façon plus générale la valeur moyenne du produit de deux fonctions sinusoïdales du temps de pulsation ω est égale à la moitié de la partie réelle du produit de l’amplitude complexe de l’une par le complexe conjugué de l’autre.

En particulier on retrouve très facilement la notion de valeur efficace qui est la racine carrée du carré moyen (Root Mean Square en anglais ou RMS) :

 

8 Amplitudes complexes et ondes planes scalaires sinusoïdales

Il s’agit de la propagation d’un ébranlement latéral sur une corde tendue, du son le long d’une tige homogène ou du son dans un tuyau cylindrique. Dans tous ces cas la grandeur qui se déplace est une grandeur scalaire fonction d’une variable d’espace sur un axe orienté et du temps.
Prenons pour exemple la pression acoustique dans un fluide (encore appelée surpression dans les programmes bien qu’elle puisse être négative...). Dans un tuyau sonore de section constante la pression acoustique ”p(x,t)” est solution de l’équation de d’ALEMBERT :

En fonctions sinusoïdales du temps de pulsation ω la solution générale est de la forme :

somme de deux ondes planes se propageant en sens contraire.
Comme précédemment on peut considérer que cette solution est la partie réelle de :

On peut donc prendre comme amplitude complexe de la pression acoustique dans le domaine des amplitudes complexes :

La lettre majuscule désigne l’amplitude complexe de la pression acoustique. Si on veut définir une pression statique dans le domaine des fonctions du temps on peut choisir : P_atm ou P₀.
A chaque particule de fluide est associée une vitesse colinéaire à 0x, direction de propagation. Comme elle n’a qu’une composante on peut la considérer comme un ”pseudo-scalaire”. L’hypothèse acoustique consiste à se limiter aux termes du premier ordre dans l’équation d’EULER qui s’écrit en projection sur l’axe des x :

où μ désigne la masse volumique du fluide.
Envisageons la cas d’une onde se propageant dans le sens des x positifs et passons en amplitudes complexes en désignant par U⁺ l’amplitude complexe de la vitesse et par P⁺ l’amplitude complexe de la pression acoustique (ou pression sonore). L’équation d’EULER devient :

il vient finalement :

Certains désignent ce rapport sous le nom ”d’impédance acoustique”. L’inconvénient de cette dénomination est que, si on change les sens de propagation, il faut en changer la signe. De plus en électrocinétique l’impédance complexe V∕I est le rapport d’une grandeur intensive (la tension) à une grandeur extensive (l’intensité ! ! !). Cela ne simplifie pas la vie des élèves.
Ne mettons pas cette notion d’impédance à toutes les sauces, là où cela ne présente aucun intérêt. Nos étudiants actuels auront dans leur carrière à maîtriser de nouvelles technologies et il est inutile de leur encombrer l’esprit avec des modèles datant des années 1920.
Il suffit de se rappeler que pour l’onde incidente U⁺  =  P⁺∕μ.c et pour l’onde réfléchie U^-  =  -P^-∕μ.c. De la sorte l’amplitude complexe de la vitesse vaut :

En effet pour déterminer A⁺ et A^- in faut fixer deux conditions aux limites soit sur p(x,t) soit sur u(x, t).
Par exemple si le tube est ouvert à une extrémité la pression est la pression atmosphérique et la pression acoustique est nulle p(L,t) = 0 (en tenant compte néanmoins de la correction d’embouchure que l’on peut négliger dans un problème mais pas dans un T.P. Il faut ajouter à la longueur géométrique du tube le quart de son diamètre.)
Si le tube est fermé solidement on peut prendre u(L,t) = 0 (ici sans correction).
L’auteur ne conseille à personne de monter un T.P. pour mesurer l’impédance acoustique à l’extrémité; d’un tube car suivant le matériau que l’on utilise on peut trouver n’importe quoi.

 

9 Amplitudes complexes et ondes planes électromagnétiques sinusoïdales

Suivant que l’on fait de l’optique où l’on mesure des distances (longueurs d’onde) ou de l’électromagné-tisme où l’on mesure des fréquences avec un fréquencemètre le terme en exponentielle imaginaire n’a pas la même forme. Pour les opticiens on écrit : e^j(k.z-ωt) et pour les électroniciens on préfère : e^j(ωt-k.z). Pour nos élèves il serait utile d’imposer une seule de ces façons de faire. Or dans les problèmes de concours on trouve soit l’une soit l’autre, ce qui ne peut que compliquer la tâche des candidats.

Nous baserons notre exposé sur les ondes électromagnétiques planes qui forment un gros morceau du programme des classes de mathématiques spéciales. Il sera facile de transposer les résultats obtenus au cas des autres ondes. Une onde électromagnétique plane est constituée d’un champ électrique et d’un champ magnétique perpendiculaires entre eux et à la direction rectiligne de propagation. On peut les représenter sur le schéma suivant :

On a l’habitude de donner les solutions des équations de MAXWELL dans ce cas sous forme d’exponentielles imaginaires don on extrait par la suite les parties réelles :

où E₀ et B₀ sont des nombres complexes. Avec cette notation les dérivées par rapport au temps s’écrivent :

Calculons maintenant  :

Posons   =  k. on peut alors écrire   =  -j.∧. de la même façon on aurait div  =  -j... Les potentiels retardés n’étant pas au programme de l’électromagnétisme la formule suivante peut servir dans d’autres cas U  =   - j..U.

Pour définir une amplitude complexe, résultat d’une fonctionnelle linéaire, il nous suffit de ne pas écrire le terme en e^j(ωt-k.z) et de conserver uniquement ce qui est en facteur. On définira alors un vecteur amplitude complexe du champ électrique par   =  E₀. et un vecteur amplitude complexe du champ magnétique par   =  B₀.. De la sorte nous pouvons dresser le tableau suivant entre les fonctions du temps et de l’espace et les amplitudes complexes :

 

10 Exemple d’application

Nous allons envisager le cas d’une onde plane sinusoïdale se propageant dans un milieu diélectrique ayant les propriétés magnétiques du vide et dont la permittivité relative est un nombre complexe. Cela suppose donc, a priori , que l’on se place dans le domaine des amplitudes complexes pour les calculs. On obtient cela en étudiant le cas de l’électron élastiquement lié. On peut écrire :ε_r  =  ε′_r - j.ε”_r où ε′_r et ε”_r sont des réels positifs. Écrivons la première et la dernière équation de MAXWELL :

Passons dans le domaine des amplitudes complexes :

En effet il n’y a pas de courant de charges réelles dans le diélectrique et D₀  =  ε₀.ε_r.E₀. De plus ∧ = - et ∧ = . Il reste donc en simplifiant par j :

En faisant le produit de ces deux relations et en simplifiant par E₀.B₀ il vient :

Or ε₀ .μ₀ .c²  =  1 où c est la célérité des ondes électromagnétiques dans le vide, ce qui donne :

où n′ et n” sont la partie réelle et la partie imaginaire de l’indice de réfraction du milieu.

Il est souvent utile de calculer n′ et n” en fonction de ε′_r et ε”_r. Nous allons développer ce calcul :

Nous obtenons une équation bicarrée en n′, posons x = 2.n′² on obtient :

Et enfin :

 

11 Considérations énergétiques

Dans l’étude des ondes électromagnétiques on définit l’énergie transportée par l’onde à l’aide du vecteur de POYNTING qui représente la puissance instantanée par unité de surface. Il s’exprime de façon générale à l’aide des vecteurs et et s’écrit :   =   ∧.

Comme nous l’avons fait pour le produit de deux fonction sinusoïdales du temps de même pulsation, nous pouvons définir un vecteur de POYNTING moyen sur une période par :

Le plus souvent les milieux dans lesquels on travaille ont les propriétés magnétiques du vide et on peut écrire :   =  ∕μ₀ et on retrouve bien l’onde définie par les vecteurs et .

Si on se trouve avec un vecteur d’onde complexe k  =  k′- j.k” l’exponentielle en j(ωt - k.z) devra être développée en -k”z.j(ωt - k′.z) où k′ et k” sont des réels positifs. Par exemple pour on aurait = .e^-k”z.e^j(ωt-k′z). On ne change rien à la généralité; en prenant E₀ réel ce qui revient à prendre l’origine des phases pour ce vecteur.

Tant qu’on travaille avec des équations linéaires comme les équations de MAXWELL il n’y a pas lieu de distinguer entre les deux formes ci-dessus, car elles se simplifient de la même façon. En revanche il faut prendre la deuxième forme pour bien séparer partie réelle et partie imaginaire quand on doit utiliser le complexe conjugué comme dans le vecteur de POYNTING.

Avec le calcul de la section précédente on tire B₀ = -E₀.k∕ω. Le vecteur de POYNTING moyen vaut donc en rétablissant le terme en e^-k”z :

Le vecteur de POYNTING moyen devient alors :

La formule en amplitude complexe que l’on vient de voir est aussi valable pour les ondes qui ont la structure d’une onde plane comme les ondes à très grande distance d’un dipôle oscillant. Si on choisit pour surface d’intégration une sphère de centre le dipôle, sur cette surface les ondes ont la structure d’une onde plane qui dépend malgré tout de la distance au dipôle, mais comme cette distance est la même en tout point de la sphère elle se met en facteur de l’intégrale. On voit dans le cours que cette onde dépend de l’angle θ entre la direction du dipôle et le rayon-vecteur , il faut donc découper des portions de sphère entre θ et θ + dθ pour faire l’intégrale sur toute la sphère.

 

12 Conclusion

Nous venons de voir que la méthode des amplitudes complexes permet de simplifier les calculs sur les fonctions sinusoïdales du temps de pulsation ω à la condition de bien séparer dans sa tête le domaine des fonctions du temps et le domaine de leur représentation par un nombre complexe que nous désignons par ”domaine des amplitudes complexes”.

La représentation d’une grandeur physique par une fonctionnelle en lieu et place d’une fonction numérique habituera nos élèves qui poursuivront des études de haut niveau à la représentation des grandeurs physiques par des ”distributions” qui ont le grand avantage sur les fonctions d’être indéfiniment dérivables même lors d’une variation brusque de la grandeur. Lorsqu’on écrit une équation différentielle en théorie des fonctions numériques on devrait toujours dire suivant le principe de précaution ”sous réserve d’existence”.